探秘埃舍爾那些鮮為人知的手稿（前傳）：17種平面對稱群

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

前文回顧：

嘮嘮鬼才畫家埃舍爾的平面鑲嵌1：妙用映象對稱

嘮嘮鬼才畫家埃舍爾的平面鑲嵌2：史上最強背景圖案

嘮嘮鬼才畫家埃舍爾的平面鑲嵌3：三生萬物的奇蹟

嘮嘮鬼才畫家埃舍爾的平面鑲嵌4：有限與無限的遊戲

嘮嘮鬼才畫家埃舍爾的平面鑲嵌5：有限與無限的遊戲2

嘮嘮鬼才畫家埃舍爾的平面鑲嵌6：從平面到空間

相信每一個看過埃舍爾平面鑲嵌畫的人都不禁會問一個問題：“他是怎麼做到的？”在埃舍爾的手稿中，他給出了答案。這個系列，在下同你一起探秘埃舍爾那些鮮為人知的手稿。

本節介紹17種平面對稱群，即可以在二維平面上產生的17種對稱重複圖樣，我們會了解這些圖樣如何分類，如何辨識。本節內容與埃舍爾手稿無關，但瞭解平面對稱群的概念，可以讓你更深刻地理解埃舍爾的手稿。是為前傳。

數學家們按照不同的對稱關係組合給圖樣分類，有些圖樣是軸對稱，有些是點對稱，有些是圍繞一點旋轉 180°、120°、90°或 60°而成。仔細研究過所有的對稱組合之後，人們發現歸結起來只有 17 類，型別的名稱看似比較費解，如 p1、p2、p3、pmg、pgg、p4、p3ml，等等。但此法是晶體學家發明的標準化命名法。除了用於觀察晶體之外，這套理論也廣泛用於裝飾，因此它也有個親切的名字，叫“牆紙群”。

我們先把17種平面對稱群總結於下表中。（IUC記法是1952年國際結晶學聯盟採用的對稱群記法。）

接下來，在下將用獨創的“69pq表示法”，以及埃舍爾的畫作為您一一拆解。

對稱群1——p1

這是最簡單的對稱群。它的晶格是平行四邊形，只由平移組成，不存在反射、滑移反射、旋轉。兩個平移軸可以彼此以任意角度傾斜。

埃舍爾的第73、74號平面規則分割是p1對稱群的典型例子，黑白色的飛魚和飛鳥如出一轍。在第80號平面規則分割中，飛魚和飛鳥有了共同的輪廓，二者毫無違和感地合二為一。

對稱群2——p2

p2與p1的區別僅在於它包含180°旋轉，即二重旋轉。它同樣有平移，不存在反射也不存在滑移反射。兩個平移軸可以以任何角度相互傾斜。它的晶格是平行四邊形，一組形成“69旋轉”的晶格組合在一起（即下圖中的紅框）是平移的基本區域。

埃舍爾的第75號平面規則分割是他的第一幅二重旋轉圖案。透過蜥蜴頭部和尾部二重旋轉，加上側面的平移，每隻蜥蜴都可以與周圍4只不同色蜥蜴中的任何一隻互換位置。

對稱群3——pm

這是第一個包含反射的對稱群。反射軸平行於一個平移軸，垂直於另一個平移軸。晶格是矩形。不存在旋轉和滑移反射。一組形成對稱的晶格（即下圖中的紅框）構成了平移的基本區域。

在埃舍爾的作品中，未見此型別的對稱。

對稱群4——pg

這是第一個包含滑移反射的組。滑移反射的方向與一個平移軸平行，與另一個平移軸垂直。不存在旋轉和反射。晶格為矩形，一組形成滑移反射的晶格（即下圖中的紅框）構成了平移的基本區域。

下圖埃舍爾的第108號平面規則分割，正方形網格依稀可見，透過上下的平移，以及左右的滑移反射，便形成了鳥的輪廓。下面的第109號平面規則分割與108號的系統完全相同，青蛙的輪廓稜角分明，與線條柔和的飛鳥形成了鮮明對比。

對稱群5——cm

cm包含了反射和滑移反射，不存在旋轉。平移的基本區域是菱形（紅框），對稱的基本區域是菱形的一半。平移可以以任意角度彼此傾斜，對稱軸會將平移形成的角度一分為二。

埃舍爾第91號平面規則分割是典型的cm對稱群。所有的甲殼蟲同向而行，左右對稱。以甲殼蟲的左側為例，甲殼蟲的頭和前腿透過滑移反射就可得到尾和後腿；右側同理。

對稱群6——pmm

pmm包含兩條互相垂直的反射軸，不存在滑移反射和旋轉。平移的基本區域矩形（紅框），這樣它的四分之一就是對稱群的基本區域。

pmm型對稱群在埃舍爾的畫中非常罕見，在下

只

找到了這一幅。

這張畫是飛利浦公司委託埃舍爾設計的實驗室穹頂的圖案。

在這幅畫中，蝴蝶、飛鳥、蝙蝠、黃蜂，4種對稱的生物相互交錯，它們的反射軸形成了矩形網格。

粗黑線將它們分隔開，黑線延伸到紙張的邊緣。

在面中，生物以相同的方式排列，當它們靠近外邊緣時，它們的尺寸會變小，並彼此分離。

對稱群7——pmg

pmg包含反射和180度旋轉。旋轉中心不在反射軸上。晶格是矩形，平移群基本區域（紅框）的四分之一是對稱群的基本區域。

埃舍爾的這兩幅螃蟹乍一看與前面的甲殼蟲非常類似，但不同的是這些螃蟹存在180°旋轉中心。在前一幅螃蟹中，埃舍爾標出了旋轉中心的位置，它位於每隻螃蟹最長腿的末端，這裡是唯一一處4只螃蟹相交的位置。

對稱群8——pgg

pgg不包含反射，但包含滑移反射和180度旋轉。滑移反射有兩條相互垂直的軸，旋轉中心不在這些軸上。同樣，晶格是矩形，平移群基本區域（紅框）的四分之一是對稱群的基本區域。

埃舍爾的這幅蜥蜴是典型的pgg系統。矩形的網格和上面標出的旋轉中心可以清晰地看出繪製的方法。上下兩邊構成滑移反射，構成蜥蜴的腿；左右兩邊分別以各自中點作為旋轉中心進行180度旋轉，構成蜥蜴的頭和尾。

對稱群9——cmm

cmm與pmm一樣有垂直的反射軸，但它也有180度旋轉。旋轉中心不在反射軸上。晶格是菱形，平移群基本區域（紅框）的四分之一是對稱群的基本區域。

在埃舍爾的作品中，未見此型別的對稱。

對稱群10——p4

這是第一個出現90°旋轉的對稱群，即四重旋轉。它也有180°旋轉。二重旋轉的中心在四重旋轉中心的中間。不存在反射。晶格是正方形，同樣，平移組基本區域（紅框）的四分之一是對稱組的基本區域。

埃舍爾的這兩幅蜥蜴是非常明顯的p4對稱系統，二者的圖案完全相同，不同之處在於顏色，後者用了4種顏色，同色的蜥蜴首尾相接，構成了圓環的形狀。

對稱群11——p4m

p4m與p4的不同之處在於它存在反射。反射軸彼此間隔45°，這樣4條反射軸穿過四重旋轉的中心。事實上，所有的旋轉中心都位於反射軸上。晶格是正方形，平移群基本區域（紅框）的八分之一（三角形）是對稱群的基本區域。

在埃舍爾的作品中，未見此型別的對稱。

對稱群12——p4g

p4g同樣包含反射，以及二重和四重旋轉。但是反射軸彼此垂直，旋轉中心全都不在反射軸上。同樣，晶格是正方形，平移群基本區域（紅框）的八分之一（三角形）是對稱群的基本區域。

在埃舍爾的這幅蜻蜓中，蜻蜓左右對稱，翅膀末端的圓點是90°旋轉中心。

對稱群13——p3

這是最簡單的包含120°旋轉的群，即三重旋轉，也是第一個晶格為六邊形的群。

埃舍爾的這幅小人是典型的p3系統，小人的額頭、前腿膝蓋和後腿的腳後跟分別是3個120°旋轉中心，小人的形象直率可愛。埃舍爾的版畫《迴圈》中的小人也是源自這個圖案，可以清晰地看出小人從菱形演變而來的過程。

對稱群14——p31m

p31m包含反射（反射軸彼此相差60°）和三重旋轉。旋轉中心有一部分位於反射軸上。晶格是六邊形。

埃舍爾的這幅小人左右對稱，120°旋轉中心位於頭頂和左右袖口。埃舍爾的手稿顯示，這張畫的靈感來自阿爾罕布拉宮的裝飾圖案，上面的箭頭變成了斗笠，左右箭頭變成了小人直挺挺的四肢。

對稱群15——p3m1

p3m1與p31m相似，同樣包含反射和三重旋轉，反射軸同樣彼此間隔60°，但是對於p3m1而言，旋轉中心全部都位於反射軸上。晶格同樣是六邊形。

下圖是埃舍爾的第69號平面規則分割。鳥、魚和蜥蜴分別代表空氣、水和土壤三種元素。每個圖案都是對稱的，脊椎骨就是它們的對稱軸。把三條脊椎骨連起來便是作為基底的等邊三角形。每6只鳥、魚或蜥蜴均可以圍成一個正六邊形。

對稱群16——p6

p6包含60°旋轉，即六重旋轉。它還包含二重和三重旋轉，但是沒有反射。它的晶格是六邊形。

在這個設計中，6條相同的魚的魚尾相較於一點，此點即為60°旋轉中心；魚被週期性地畫成紅色—藍色—黃色。值得一提的是，把這六條魚的放在一起的輪廓酷似花卉，六條魚變成了六個花瓣，埃舍爾用這種圖案繪製鈔票背景圖。

對稱群17——p6m

這個最複雜的群有二重、三重、六重旋轉，以及反射。反射軸相交於所有的旋轉中心。在六重旋轉的中心，6條反射軸相交併彼此相隔30°。晶格是六邊形。

埃舍爾的作品中鮮有p6m型對稱群。在下只找到了這個用於鈔票背景設計的手稿。圖中依稀可見有六個瓣的花朵，像六角星一樣的花心。從花心可以發射出12條對稱軸，彼此相隔30°。

至此，17種平面對稱群就介紹完了。相信老少爺們兒們現在已經頭暈眼花，意識模糊。別急，在下將17種圖樣總結成了圖表。

根據表格中的線索，你可以迅速辨識出一個圖樣屬於17種平面對稱群中的哪一種。

參考資料：

1 《埃舍爾大師圖典》，莫里茨·科內利斯·埃舍爾著

2 《魔鏡：埃舍爾的不可能世界》，布魯諾·恩斯特著

3 M。C。 Escher The Graphic Work， Maurits Cornelis Escher

4 https：//www2。clarku。edu/faculty/djoyce/wallpaper/seventeen。html

青山不改，綠水長流，在下告退。

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