三維空間造不出克萊因瓶，為什麼有人買到了瓶子，還裝滿了？

一維空間只有長度，但沒有寬度和高度，簡單來說就是由一條線組成；二維空間則是一個平面，由長度和寬度兩個要素所組成；三維空間便是有長度、寬度和高度，是立體的，也是我們看得見感受得到的空間，並且能夠容納二維。

那既然有一維、二維、三維，又為什麼不能存在有四維呢？因此也就有人提出了關於四維空間的一些猜想，而第四維指的是與長、寬、高同一性質的空間維度。總之，數學世界可以是簡單的，也可以是複雜的，為後世留下了許多懸念，它或許能夠被證明的，但也可能永遠都無法被證明。

比如19世紀的俄羅斯數學家羅巴切夫斯基，他透過反證法證明平行公設，最終所得到的結果是，證明了平行公設不可證，並且給出了非歐幾何，雖然羅巴切夫斯基在世時，非歐幾何並沒有獲得認可，但在羅巴切夫斯基離世12年後，義大利數學家貝特拉米證明了非歐幾何能夠在歐幾里得空間的曲面上實現，羅巴切夫斯基也因此獲得了盛讚。

而在19世紀末，德國數學家菲利克斯·克萊因提出“克萊因瓶”，它在數學領域指的是一種無定向性的平面，其結構則是：瓶子底部有個洞，瓶頸延長，然後扭曲的進入瓶子內部，與底部的洞相連，但和球面不同，它沒有內外之分。

舉個例子，如果在三維空間，瓶頸與瓶底連線是要穿過瓶壁，但克萊因瓶的瓶頸與底部的洞相連並不穿過瓶壁，所以在三維空間，克萊因瓶是無法存在的，但在四維空間，因為物體能無限延長，瓶頸也就能在不與瓶壁結合的情況下抵達瓶底。

克萊因瓶與莫比烏斯環則有一定的聯絡，將克萊因瓶對稱切開，可得到兩個莫比烏斯環，莫比烏斯環的發現比克萊因瓶早，1858年，德國數學家莫比烏斯和約翰·李斯丁得到了這一發現，也就是把一根紙條扭轉180度後，兩頭再粘接起來。

莫比烏斯環被發現後，引起了科學家們的巨大興趣，如何預測莫比烏斯帶的三維空間結構也已經被解開，並且在現如今，莫比烏斯環的概念已經廣泛應用於建築和工業生產中，但莫比烏斯環能在三維的歐幾里德空間中嵌入，克萊因瓶卻只能嵌入更高維空間。

那麼為什麼有人買到了瓶子，還裝滿了？其實市面上賣的“克萊因瓶”並非是菲利克斯·克萊因腦中的“克萊因瓶”，因為存在於三維空間的“克萊因瓶”的瓶頸抵達瓶底時與瓶壁相交，即使現代玻璃工業發展得非常先進，瓶頸扭曲抵達瓶底，都無法避免與瓶頸相交，那它就不是真正的“克萊因瓶”。

“克萊因瓶”被提出後，許多數學家就想方設法將它造出來，作為獻給國際數學家大會的禮物，但無一例外都失敗了。

按照菲利克斯·克萊因的設想，“克萊因瓶”就是裝不滿的，瓶頸扭曲著，能在不與瓶壁的情況下抵達瓶底。就好比英國數學家羅傑·彭羅斯及其父親遺傳學家列昂尼德·彭羅斯於1958年提出的彭羅斯階梯，不管是沿著臺階往上走，還是沿著臺階往下走，卻始終是在同一水平面上打轉。

然而彭羅斯階梯在三維空間中是不可能存在的，但放到更高階的空間就能夠輕易實現，不過畫家們對此很有興趣，能在平面上將彭羅斯階梯實現，只是畫中的世界雖然能夠看起來立體，但它並不是立體的。

也不得不說，數學家的發散思維讓普通人無法想象，偏偏大家又都樂此不彼，如果四維空間被證實存在，也將顛覆無數人的認知，足以改變這個世界，但目前為止，三維以上的空間都是虛構出來的，這就像人們所熱議的外星人，即便出現了諸多外星人形象，但外星人並未被證實存在。