μ 子反常磁矩之謎

硬科普鳴謝

μ 子反常磁矩之謎 （一）

盧昌海

一。 引言

我們知道， 物理學是一門自然科學， 它的目的是要尋求對自然現象邏輯上簡單的描述。物理學發展到今天， 它對自然現象的描述按其精密程度可粗略分為兩類：一類是所謂的定量描述， 針對的主要是一些簡單及純粹的現象， 比如原子的光譜， 行星的運動， 等等［注一］；另一類則是所謂的定性描述， 針對的主要是複雜現象。

一個不無遺憾的事實是：在這兩類描述中， 我們所熟悉的日常經驗所及的現象有很大比例是屬於後一類的。不過， 儘管我們很難從基礎物理定律出發來細緻地描述那些從經驗角度看來稀鬆平常， 從定量計算的角度來看卻高度複雜的現象， 多數物理學家卻並不懷疑， 在那些現象背後起支配作用的， 正是和描述原子光譜及行星運動相同的物理定律。美國物理學家 Richard Feynman 曾在他的著名講義中這樣寫道：“對物理學懷有莫名恐懼的人常常會說， 你無法寫下一個關於生命的方程式。嗯， 也許我們能夠。事實上， 當我們寫下量子力學方程式    的時候， 我們很可能就已在足夠近似的意義上擁有了這樣的方程式。”

當然， 具體到關於生命的方程式上， Feynman 可能是屬於特別樂觀的， 有些物理學家或許會更保守， 也有些人可能會存疑。但是， 正如 Feynman 在寫下上述文字之前曾經以流體力學方程組為例所論述的， 一組數學上簡潔的物理定律往往能蘊含難以定量剖析的出人意料的複雜性， 由此導致的一個後果是：一組複雜現象——比如生命現象——無論看起來多麼遠離物理定律的直接描述， 都很難構成對那些定律的有效挑戰。這一點無論我們是否持有像 Feynman 那樣的樂觀看法都很難否認。

另一方面， 物理學對自然現象的定量描述雖往往只針對簡單及純粹， 有時會遠離經驗， 有時需精心製備， 有時甚至只存在於理想實驗之中的現象， 但它與物理定律之間所具有的定性描述難以企及的明確關聯， 使它成為了物理學家們探索物理定律的最有效途徑。事實上， 正是透過那樣的定量探索， 物理學家們完成了有關物理定律的絕大多數研究。這種研究是如此深入， 複雜現象與基本物理定律之間的關係又是如此間接， 以至於在很長一段時間裡， 雖然多數物理學家承認物理學的未來征途還很漫長， 我們對自然界的許多現象還沒有足夠透徹或足夠優越的描述， 卻很少有人能從實驗上找到基礎物理定律——比如廣義相對論或粒子物理標準模型——的反例。

不過這種情形在最近幾年裡也許已經起了變化， 本文將要講述的 “μ 子反常磁矩之謎” 就是一個雖然還算不上是結論性的， 但卻很值得關注的例子。

二。 有自旋帶電粒子在電磁場中的自旋進動

為了討論 μ 子的反常磁矩之謎， 我們首先要介紹一下有自旋帶電粒子在電磁場中的自旋進動， 這是對 μ 子反常磁矩進行實驗測量的理論基礎。

我們知道， 一個質量 m， 電荷 e， 自旋 s 的有自旋帶電粒子所帶的磁矩 μ 正比於 （e/2m）s （請讀者想一想， 為什麼會有這樣的比例關係？）， 比例係數通常記為 g， 稱為該粒子的 g 因子， 即 （在本文中我們採用 c=1 的單位制）：

另一方面， 按照電磁學理論， 任何磁矩 μ 在電磁場中都會感受到力矩 μ×B 的作用 （B 為磁感應強度）。這一作用會造成自旋的進動：

不過， 這一自旋進動方程式只適用於粒子在其中瞬時靜止的平動參照系， 特別是， 其中的時間 t 及磁感應強度 B 都是在該參照系而非實驗室系中測定的， 這對於實際應用來說顯然是極不方便的。為了得到在任意參照系中都適用的結果， 我們需將這一方程式推廣為協變方程。

為了做到這一點， 我們首先引進與三維自旋向量 s 相對應的四維軸向量   ， 並將  改寫為協變形式    （   為電磁場張量）［注二］。不過， 如果我們就此將 （2） 式簡單地推廣為    （τ 為粒子的固有時）， 卻會遇到一個問題。我們知道， 在粒子瞬時靜止的參照系中，   的分量為 （0， s）， 它與粒子的四維速度  正交， 即：

可惜的是， 這一方程與    在一般情況下是彼此矛盾的 （請讀者自行證明這一點， 並說明所謂的 “一般情況” 指的是什麼情況？）。這一矛盾表明我們還遺漏了一些項。

為了找出那些遺漏的項， 常用的辦法是考慮所有物理上可能並且滿足協變性要求的項。在我們所考慮的問題中， 相關的物理量只有   、    和   ， 因此所有物理上可能的項都必須由它們構成［注三］。另一方面， 自旋進動方程 （2） 所具有的形式表明  對   和    都是線性的。簡單的羅列分析表明， 在由   、    和    組成的所有四維向量中， 除已經找到的正比於    的項外， 唯一能滿足這一線性條件的只有正比於   ， 且比例係數——作為四維標量——對   和   為線性的項 （請讀者想一想， 為什麼不能有其它的項， 比如正比於    或    的項？）， 因此， 對應於 （2） 式的協變方程只能是：

為了確定比例係數 α， 我們注意到對 （3） 式求導可得：

將 （4） 式及帶電粒子本身的運動方程  代入 （5） 式可得 （請讀者自行完成這一證明的細節）：  。由此我們就得到了有自旋帶電粒子在電磁場中的自旋進動方程的協變形式 （為避免指標重複， 我們對啞指標作了更換）：

我們得到這一形式所用的方法是比較數學化的， 即主要依據了協變性的要求， 而與有自旋帶電粒子的具體模型， 及各項所可能具有的物理意義無多大關係。不過 （6） 式本身其實是有著很清晰的物理意義的：它的正比於 g （從而正比於磁矩） 的部分給出的是粒子所受的電磁力矩， 與 g 無關 （從而與磁矩無關） 的部分給出的則是著名的相對論運動學效應 Thomas 進動 （Thomas precession）。

（6） 式——如我們在下節中將會看到的——是物理學家們對 μ 子反常磁矩進行實驗測定的重要依據。

註釋

當然， 這裡所說的 “簡單及純粹” 是相對於研究範圍及觀測精度而言的， 比如行星， 它本身顯然是高度複雜的， 但假如我們的研究僅限於考慮它作為一個整體在外部引力場中的運動， 那它就可以被視為是一個 “簡單及純粹” 的體系的一部分。

細心的讀者也許已經注意到了， 這一推廣完全類似於對 Lorentz 力中的    項的處理。另外， 有些讀者可能更熟悉將三維自旋向量    推廣為二階反對稱張量   的做法， 這與本文所用的方法是等價的， 本文引進的四維向量    與   之間具有對偶關係：  。

這裡我們假定電磁場的分佈足夠均勻， 從而可以忽略它們的導數。