掌握“一線三等角”模型，為中考提分“抄個近路”

在初中幾何教學中，教師習慣於將具有一定條件或具有某種特徵的基本圖形進行總結提煉，並稱之為“××模型”。幾何模型的歸納提煉，往往對解較為複雜的幾何題起到事半功倍的效果。

當然在實際解題過程中需要我們對模型有深刻的理解，能夠抓住題目中已知條件的要點，聯想到實用的模型，從而去構建模型，突破解題難點。

”一線三等角”模型在中考綜合問題分析中，有著廣泛應用。我們有必要系統認識這個模型的應用特色。

01模型呈現

如圖1和圖2，在△ABC和△CDE中，點C是直線BD上的點．若∠ACE=∠ABD=∠EDF，則△ABC∽△CDE．特別地，當AC=CE時，△ABC≌ △CDE．

上述兩個圖呈現的是兩種最典型的“一線三等角”模型，即同側型和異側型，兩者所求證的結論均可透過導角證明。

該模型最本質的特點為： 有3個等角的頂點在同一條直線上，且這個角可以是銳角、直角或鈍角．而隨著角頂點位置的適當改變或角繞頂點旋轉一定角度，常會產生許多和諧美觀的圖形，且結論仍然成立。

正因如此，近年來各地命題專家們命制了許多可用“一線三等角”模型求解的中考試題，這些試題大都突出對學生能力與思維的考查，重視數學經驗與思想方法的獲得，常常具有較高的區分度。

02經典精析

解題策略1：

三角齊見，模型自現

例1。如圖，將一張矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對摺，使點B落在AD上，記為B′，摺痕為CE；再將CD邊斜向下對摺，使點D落在B′C邊上，記為D′，摺痕為CG，B′D′＝2，BE＝1/3BC．則矩形紙片ABCD的面積為______．

【解析】因為∠A=∠EB‘C=∠D=90°，且點A，B’，D在同一直線上，由“一線三等角”模型，得△AEB‘∽△DB’C，則

2。將形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形如圖所示放置，點D在AB邊上，△DEF繞點D旋轉，腰DF和底邊DE分別交△CAB的兩腰CA，CB於M，N兩點，若CA＝5，AB＝6，AD：AB＝1：3，

評註

：以上兩例都是典型的“一線三等角”試題，由於模型的框架已搭建，因此降低了試題的起點。

兩道題雖涉及不同的圖形變換，但解法本質一致，均為利用模型構建比例式解決問題．兩道題都著重考查學生在圖形變換過程中的觀察理解、直觀感知、推理轉化等數學能力和思想。

解題策略2：

隱藏區域性，小修小補

例3。如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交AD的延長線於點E．若AB＝12，BM＝5，則DE的長為（）

A．18 B．109/5 C．96/5 D．25/3

【解析】如圖，由於∠B=∠AME=90°，因此延長BC，過點E作BC 延長線的垂線，兩者交於點N．

根據“一線三等角”模型，可得△ABM∽△MNE，則 而AB=EN=12，BM=5，則MN=144/5，故DE=CN=MN－MC=MN－（BC-BM）=109/5．故選：B．

例4。 如圖，在平面直角座標系xOy中，直線y＝﹣x+m（m≠0）分別交x軸，y軸於A，B兩點，已知點C（2，0）．設點P為線段OB的中點，連線PA，PC，若∠CPA＝45°，則m的值是______．

【解析】：作OD＝OC＝2，連線CD．則∠PDC＝45°，如圖，

由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．

∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°．

當m＜0時，∠APC＞∠OBA＝45°，

所以，此時∠CPA＞45°，故不合題意．∴m＞0．

∵∠CPA＝∠ABO＝45°，

∴∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，

因為∠ABO=∠APC=45°，在y軸的負半軸上找一點D，使得∠CDO=45°，則△ABP與△PDC構成“一線三等角”模型，

所以△ABP∽△PDC，從而AB/PD=BP/DC，易知m＞0，AB=√2m，BP=m/2，PD=m/2+2，CD=2√2，於是

解得m=12。

評註：上述兩道題雖分別以四邊形和一次函式為命題背景，但圖形的共性較明顯：均將原有“一線三等角”模型中的一角進行了隱藏，而這就要求學生理性地從圖形的角度進行思考與聯想，發現其中最本質的特徵，挖掘蘊含在圖中的幾何模型。

兩道題均較好地體現了對“四基”的綜合考查，提升了學生思維的層次性和靈活性。

解題策略3：一角獨處，兩側添補

【解析】如圖，由於∠AOB=90°，因此過點A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為點C，D．由“一線三等角”模型可得△ACO∽△ODB，則

故選B。

【解析】

如圖，由於∠BAE=45°，因此過點A作AD的垂線，在該垂線上分別找點M，N（其中點N在點A下方），使得∠BMA=∠ENA=45°．過點E作MN的垂線，垂足為點F，延長CB交MN於點G．

易知四邊形ADCG為正方形，則AG=CG=CD=4；而AB=BC+AD，不難推知AB=5，BG=3，BC=1．由於∠BAE=∠M=∠N=45°，根據“一線三等角”模型可得△ABM∽△EAN，則

故選D。

評註：上述兩道題雖呈現的背景不同，但都蘊知識技能、思想方法、數學模型於圖形之中．題中的“特殊角”是解題的關鍵，也是搭建模型框架的基礎，更是學生解題思路的來源與“腳手架”。

兩道題實質上是考查學生利用模型進行數學思考的能力，同時也有效地檢測了學生對數學本質屬性的把握情況。

解題策略4：：線角齊藏，經驗來幫

例7。如圖，已知點A（2，3）和點B（0，2），點A在反比例函式y=k/x的影象上．作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉45°，交反比例函式影象於點C，則點C的座標為_______．

解析：

如圖，過點C作AC的垂線，交射線AB於點D，過點C作x軸的平行線，在該平行線上分別找點E，F，使得∠DEC=∠AFC= 90°．

由“一線三等角”模型及∠DAC=45°，得△DEC≌△CFA．又點A，B座標分別為（2，3），（0，2），從而k=6，於是

評註：透過上述的題，不難發現：對於有些中考試題，“一線三等角”並非直觀、完整地呈現，而是在原圖中隱藏了局部或全部結構，因此思維層次隨之提升．若我們能充分利用題中所給的已知角或挖掘圖中隱藏的特殊角，透過“找角，定線，搭框架”，讓模型“現出原形”，則解題思路便會油然而生，豁然開朗。

03解題反思

1。“一線三等角”應用最常見的三種情況。

a。圖形中已經存在一線三等角，直接應用模型解題；

b。圖形中存在“一線二等角”，補上“一等角”構造模型解題；

c。圖形中只有直線上一個角，補上“二等角”構造模型解題。

2。在定邊對定角問題中，構造一線三等角是基本手段。

3。構造一線三等角的步驟：

找角

、

定線

、

構相似

。

如上圖，線上有一特殊角，就考慮構造同側型一線三等角，當然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角與線段的關係，過C、D兩點作直線l的垂線是必不可少的。

進一步思考，如何添輔助線是幾何教學的難點，學生往往不能理解添輔助線的本質目的，只是依靠記憶模仿或盲目嘗試，能否添對輔助線並快速解決問題很大程度上就依靠運氣了。

在平時教學中，師生共同歸納總結常見的幾何模型，深刻理解模型的關鍵條件，這有助於學生遇見圖形展開豐富的模型聯想，從而主動的去構建模型，讓所添輔助線更具目的性。

在解決問題過程中，我們看待問題的角度不同，從不同切入點就可以聯想不同的幾何模型，從而產生豐富多彩的構圖方法，也就形成了多樣的解法。

因此，在日常教學中強化數學建模意識，讓學生學會把陌生的、複雜的問題化歸為熟悉的、簡單的問題，提高學生學生的解題能力和學習興趣，也正是培養學生數學學科核心素養的關鍵所在。