質量起源，希格斯玻色子如何賦予粒子質量？希格斯機制的數學解釋

粒子物理學家在20世紀下半葉發展了一個優雅的理論模型，為我們理解宇宙中的基本粒子和力提供了一個框架。這個強大的框架就是所謂的標準模型，它的主要成分之一是希格斯場，這是一種無處不在的量子場，負責賦予粒子質量。由於量子力學中的波粒二象性，希格斯場有一個基本粒子，也就是所謂的希格斯玻色子。

本文的目的是為希格斯玻色子及其性質提供一個更數學的解釋。

圖1：這張照片顯示了希格斯玻色子衰變成兩個光子的事件，綠色的線是它們的能量沉積。這個實驗使科學家們能夠縮小希格斯粒子的質量範圍。

自發對稱性破缺

雖然自然的基本法則有幾種對稱性，但我們的世界遠非對稱的。用物理學術語來說，拉格朗日函式是對稱的，但它們所描述的世界卻不是。事實上，研究這種對稱性是如何被打破的，是物理學的一箇中心主題。

首先，讓我們考慮一個對稱破缺的例子，其中系統由相互作用的n分量標量場組成。

標量場

考慮一個有分量的n維標量場的拉格朗日量：

式1：n維標量場。

拉格朗日密度為：

式2：旋轉對稱的拉格朗日密度（N維）。

注意到質量項的符號是負的。拉格朗日函式是：

式3：拉格朗日量對應的拉格朗日密度。

N = 1情況

如果N=1，拉格朗日函式有極值：

式4：拉格朗日系數L的極值。這裡，第一個ϕ是區域性極大值。

其中ϕ=0為最大值。其它兩個ϕ，即v或-v，都是等效的基態，我們可以選擇其中之一作為我們的基態。基態稱為VEV（真空期望值）。

現在，注意兩個極值之間的隧穿勢壘是無限的：

式5：在QFT中拉格朗日函式 L的極值之間的勢壘是∞

這是因為式5中的時空積分是無限的。由於勢壘是無限的，基態波函式（或泛函）不能在極值之間隧穿。因此，普通量子力學中存在的ϕ→-ϕ反射對稱性被打破。但是，，對稱破壞並不是由於

L

中引入新量造成的。

N = 2情況

在這種情況下，勢能是著名的墨西哥帽勢能。我們現在有無窮多個物理上等價的極小值（或真空）。所有這些真空具有相同的值，即：

式6：N=2

時

所有最小值的平方。

注意每個最小值點在不同的方向上。但其結果不能依賴於對ϕ方向的選擇，因此我將選擇：

ϕ為單向的

其中ϕ₁=+v的值由式6給出。

圖2：“墨西哥帽”勢函式V（ϕ）及其無窮極小值

現在我們透過寫出極小值來研究ϕ₁和ϕ₂周圍的波動：

式7：在極小值附近的波動。單分量沿徑向波動，雙分量在電勢的最小值處繞圓波動。

將式7代入拉格朗日方程可得：

式8：ϕ的第二分量是無質量的。

希格斯機制

現在我們在拉格朗日方程中加入規範場A。規範理論，根據定義，是一種場論，它的拉格朗日量在某些型別的群的變換下是不變的。根據規範原理，宇宙中三種基本相互作用的基礎，如果我們改變描述它的方式，物理性質不應該改變。規範理論有兩種型別：阿貝爾理論和非阿貝爾理論。阿貝爾規範理論的一個例子是我們熟悉的電磁理論。

電磁場

我們從電場和磁場E和B的麥克斯韋方程開始：

式9：麥克斯韋的電場和磁場方程，E和B。

圖3：描繪了一個地磁暴，其中的帶電粒子通量的激增改變了地球的磁場，在大氣中誘導電場。

電場和磁場可以用勢V和A表示為：

式10：用電勢V和A表示的電場和磁場。

我們可以把V和A歸入向量勢：

式11：對偶向量勢

與電磁場有關的拉格朗日，其方程在矢勢的規範變換下是不變的：

式12：一個規範變換，其中χ是一個標量函式

由下式給出：

式13：電磁場的拉格朗日量。向量j為以電荷和電流密度為分量的4維電流。

張量F是：

式14：電磁場張量。

注意F在規範變換式12下是不變的。阿貝爾規範理論在U（1）群下是全域性不變的。n次的酉群U（n）由n × n個

酉

矩陣組成，採用矩陣乘法的群運算。群U（1）又稱圓群，是所有具有模1的複數的

乘群

。

圖4：

圓群

U（1）的圖示。

狄拉克場

狄拉克場ψ是費米子場的一個例子，費米子場是一個量子場，其量子是費米子。這些場服從正則反對易關係，與服從正則對易關係的玻色子場相反。

帶電荷e和質量m的狄拉克場具有以下自由拉格朗日量：

式15：自由的狄拉克拉格朗日函式。

這裡：

式16：狄拉克伴隨矩陣。

為狄拉克伴隨場，且：

式17：γ矩陣的標準表示。

是矩陣的標準表示。狄拉克拉格朗日函式在全域性規範變換下是不變的：

式18：全域性規範變換。

在區域性規範變換中，α成為函式α（x）和新的拉格朗日不變數：

式19：區域性規範變換。

變成：

式20：區域性規範變換下的自由狄拉克拉格朗日不變數。

這裡

式21：協變導數。

包括電磁場和狄拉克場的量子電動力學拉格朗日量是：

式22：量子電動力學（QED）拉格朗日函式。

圖5：第一次發表的費曼圖，出現在理查德·費曼的《量子電動力學的時空方法》中

希格斯場和希格斯玻色子

如前所述，我們的世界不是尺度對稱的。然而，一個理論有可能具有某種對稱性，即使我們對那個物理理論的經驗並沒有反映出相應的對稱性。大量無質量向量場（如電磁場）的缺失意味著規範對稱被打破了。

現在讓我們考慮一個在規範理論中如何自發對稱破缺的例子。為簡單起見，我將考慮最簡單的規範理論，即電磁，它是一個U（1）規範場，耦合到其中的一個復標量場。在式18中不變的拉格朗日量為：

式22：耦合於復標量場的U（1）規範場的拉格朗日量。

其中ϕ_1和ϕ_2是ϕ的實部和虛部。

現在我們把標量場寫為：

式23：極座標下的標量場。

轉換：

我們生成了一個規範不變組合：

式24：規範不變組合。

正如我們之前所做的，我們選擇：

式25：標量

勢

最小的點

成為勢能最小的值。像之前一樣新增一個波動項：

為解釋自發的對稱破缺而增加的漲落項。

我們得到以下拉格朗日量：

式27：拉格朗日公式22增加了一個漲落項來解釋自發的對稱破缺。

這個拉格朗日定理描述了一個質量為M=ev的向量場B它與標量場χ有質量相互作用

式28：標量場的質量χ

注意玻色子θ不在拉格朗日量中。有人說θ被標準場A“吃掉”了，標準場A變成了B。先前的無質量場A有兩個自由度，兩個極化方向（兩個自旋方向）。巨大的規範場獲得了一個縱向自由度。

從無質量到有質量的這種轉變被稱為希格斯機制，其中ϕ被稱為希格斯場。

正如在導論中解釋的那樣，由於量子力學中的波粒二象性，其中ϕ有一個基本粒子，即所謂的希格斯玻色子。

圖6：希格斯電勢。在底部任意一個點的選擇都會自發地破壞旋轉U（1）對稱。

電弱理論與質量向量玻色子

電弱理論既描述了電磁力，也描述了弱核力。

圖7：中子透過中等重W玻色子衰變為質子、電子和電子反中微子。

這些力看起來非常不同：

弱核力的作用距離很小，比原子核還小。

電磁力作用於巨大的距離，並與距離的平方成反比。

質子間的電磁力比弱核力強10^6倍。

然而，物理學家證明，在所謂的統一能量（~246 GeV）以上，這些力會合併為一個力。

換句話說，超過這個極限閾值，這兩種力是一個更基本的電弱力的不同方面。如上所述，無質量規範場A的自發對稱性破缺給出了三個質量向量玻色子的起源，即：

式29：一個無質量的規範場A的自發對稱性破缺給出了三個大質量玻色子的起源。

換句話說，希格斯機制解釋了式29中弱相互作用規範玻色子的質量。

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