邏輯的極限與數學的困境, 羅素用了362頁才推匯出1+1=2

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為什麼自亞里士多德以來的25個世紀裡，直覺沒有得到像邏輯那樣多的關注？直覺是難以捉摸的，難以定義和量化，有時還具有欺騙性。事實上，甚至還有不同種類的直覺。亞里士多德認為，直覺是照亮黑暗的燈塔。然而，在黑暗中的大多數時間，它也像一個探照燈指向錯誤的方向。另一方面，邏輯可以被嚴格地證明，是精確和確定的。

龐加萊：用邏輯來演示，用直覺來發明

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亨利·龐加萊，1854 - 1921

亨利·龐加萊，法國

數學

家和物理學家，認識到我們的直覺可能有誤導性（但主要負責數學的發展），邏輯推理是為了直觀結果的最終論證。他把偉大的數學家分為兩類，一類是遵循邏輯但不能“觀察空間”的分析家，另一類是遵循直覺的幾何學家，據龐加萊：

邏輯是證明的工具，只有它才能給出確定性；直覺是發明的工具（龐加萊，1969）。

想象一下，在一節初等幾何課上，有一個叫小明的學生，她用直覺和邏輯學習幾何。直覺被用來尋找證明策略。然後用邏輯一步一步地建立一個證明。小明遇到了以下問題：

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已知三角形ABC，證明角a、角b、角c的和為180度。

小明馬上想起了平角是180度。因此，他認為，這個問題一定和一條直線有關。但現在沒有 直線，那麼就在某處畫一條直線（輔助線）。試試在其中一個頂點處畫一條直線，隨便選c，這條線應該是什麼方向的？一個顯而易見的選擇是讓它平行於AB。透過輔助線，小明發現角a和角d是相等的，角b和角e是相等的，但這只是直觀感受。但是，小明確實記得平行假設中的一些東西，它們確實相等，因此a + b + c = e + d + c = 180。

在這一點上，他解決這個問題的所有想法都來自於猜測和自發的判斷，這些都來自於他在課堂上所學到的知識。與其說他是一個邏輯推理者，不如說他是一個憑直覺進行猜測的人。接下來，她將運用自己的邏輯推理能力將這些點連線起來，並向她的幾何老師演示一個證明。即使是這個簡單的例子，小明也展示了一個典型的數學家是如何用直覺來發明和用邏輯來演示的。

羅素：不需要意義的遊戲

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伯特蘭·羅素，1872 - 1970

羅素和他的同事繼續弗雷格未完成的研究（詳細見：

機器

人之死——邏輯、直覺和悖論，決策者的困境 ）。然而，數學家們越是努力避免弗雷格所反對的那種悖論，就越容易得出更微妙、更深刻的悖論。

羅素給出了他的悖論的一個例證，叫做理髮師悖論：

理髮師會且只會為那些不給自己刮鬍子的人刮鬍子。理髮師自己刮鬍子嗎？

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如果理髮師給自己刮鬍子，他（這個理髮師）就不給他刮鬍子；這是一個矛盾。另一方面，如果理髮師不給自己刮鬍子，他就會被理髮師刮鬍子；這也是一個矛盾。

與弗雷格不同的是，羅素放棄了公理必須是不言而喻的這一觀點，只要公理能夠在不矛盾的情況下發展數學知識。他曾說過：

數學可以被定義為一個我們永遠不知道自己在談論什麼，也不知道自己所說的是否正確的學科。

任何先驗知識，無論它感覺如何不言而喻，都是被禁止的，人類的直覺在數學發展中應該沒有一席之地。羅素的《數學原理》用了362頁才推匯出1+1=2，這並不奇怪。

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《數學原理》第362頁，1+1=2得到了證明。

希爾伯特：不需要玩家的遊戲

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德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert， 1862-1943）擴充套件了弗雷格和羅素的工作，提出了著名的

希爾伯特方案

，即數學的任何分支都可以被重新表述為一種形式理論，他提出以下3個問題是否存在正解：

一個形式理論，其中的公理不能產生矛盾，它的一致性能否在理論本身內得到證明？

形式理論能被證明是完備的嗎，因為它包含了任何真正的數學陳述在它想要體現的特定分支中。

是否存在一個純粹的機械過程，我稱之為通用證明機制，來判定任何給定的數學命題的真假。這個問題在德語中被稱為判定問題（Entscheidungsproblem）。

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希爾伯特期望他所有問題的答案都是肯定的，這將完全消除直覺的必要性，使數學不再具有直覺性。在他對形式理論的樂觀中隱含著他的實證主義，即所有數學問題都可以被解決的信念。他的名言

我們必須知道，我們將知道（Wir müssen wissen, Wir werden wissen）

鐫刻在他的墳墓上。希爾伯特和他的同事被稱為“形式主義者”。

希爾伯特認為，透過從一組一致的公理開始，一個形式理論可以是完整的，自我驗證的。因為一個正式的理論不應該被人類解釋，而是被機械地證明，所以它被稱為一個正式的“系統”。將這種系統稱為“正式”意味著以前對同一主題的處理是“非正式的”。關於他的歐幾里得幾何形式理論，希爾伯特曾經說過，與其談論點、線、面，還不如談論桌子、椅子和酒杯。

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希爾伯特的“形式”數論

羅素認為數學是毫無意義的符號遊戲，而希爾伯特則希望遊戲本身能發揮作用。如果希爾伯特的宏偉願景是正確的，一個正式的系統將總結過去，並確定數學的未來。

具有諷刺意味的是，希伯特在這方面可能被自己的直覺誤導了。

哥德爾：數學家的迴歸

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庫爾特·哥德爾

庫爾特·哥德爾（1906-1978），奧地利裔美國邏輯學家。他在完備性定理中證明了一階邏輯的符號規則覆蓋了所有有效的邏輯推理，使希爾伯特程式看起來很有前途。然而，哥德爾的不完備性定理會破壞希爾伯特程式。他發現，有了後來以他的名字命名的編號方案，他可以把構成數字正式系統的數學表述表示為數字本身。這樣，一個被認為可以證明數字事實的正式的數字系統，就可以證明關於它本身的事實。在哥德爾的編號下，一個正式的數字系統成為自我參照，如下所示：

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此外，該理論還包括關於理論本身是否可證明的陳述。根據這一見解，哥德爾巧妙地構建了一個“說謊者悖論”的修改版本，如下所示：

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哥德爾悖論

如果它是真的，那麼它就不能在理論中被證明。如果它是假的，那麼它說的一定是假的，這意味著它在理論中是可以證明的，因此它一定是真的。所以，我們有一個真正的數學命題，它既不能在理論中被證明也不能被否定。一個數學理論的正式系統，即使是像數論那樣的初等系統，也只是一個近似值。

圖靈：程式設計師的崛起

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可計算的是什麼？

即使我們滿足於一個不完備的形式系統，是否存在一個通用證明機制來解決判定問題？在深入研究這個問題之前，我們需要回答什麼是“純粹的機械過程”。英國數學家阿蘭·圖靈（Alan Turing， 1912-1954）定義了一個“純機械過程”的數學模型。模型中定義的機器會掃描被分割成方塊的假想磁帶。根據規則表和它自己的內部狀態，它接下來在方塊上寫一個符號，然後要麼保持不變，要麼向右或向左移動一個方塊。這個機器模型後來被稱為圖靈機，他用它來進行數學論證，而不是製造一臺真正的計算機。一般認為宇宙中的一切都是可計算的，當且僅當它可以簡化為圖靈機。這被稱為丘奇-圖靈假說。上面提到的規則表現在被稱為“計算機程式”。

停機問題

在定義了圖靈機之後，圖靈進一步證明了希爾伯特通用證明機制的不存在性。受到哥德爾的編號方案的啟發，圖靈將機器編碼為數字，這樣機器就可以被研究為數字，這些數字可以作為其他機器的輸入。現在圖靈可以提出停機問題了：有沒有一種機器N，可以決定是否有任何機器在給定的輸入下停止或永遠迴圈。圖靈指出，僅僅是這種機器N的存在就會導致矛盾。

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1954年，NACA“計算機”與顯微鏡和計算器一起工作。

圖靈假設有一個特殊的機器M，它的工作與N的工作完全相反。如果N判定一臺機器在將自己作為輸入時停止，M將永遠迴圈。另一方面，如果N判定一臺機器永遠迴圈，在這種情況下M將停止。這樣，你可以說M是被設計來故意破壞N的。現在的問題是：當特殊機器M將自己作為輸入時，它會停機嗎？

如果M在M上停止，根據M的定義，M將永遠迴圈——矛盾

如果M在M上永遠迴圈，M將停止——另一個矛盾

這個自我參照悖論如下所示：

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停機問題。

因此，N不存在。停機問題無法解決，或者從技術上講，它是無法確定的。

現在我們可以回到希爾伯特的判定問題。如果存在通用證明機制，我們可以透過將任何對N的查詢表述為一個數學語句，使其成為N。然而，N並不存在，通用證明機制也不存在。另一方面，如果N確實存在，我們可以用以下簡單的方式實現通用證明機制：首先，編寫一個程式，無限地搜尋一個數學語句的所有可能的證明，找到一個就停止；接下來，我們詢問N這樣的搜尋程式是否停止。因此，停機問題的不可解性意味著判定問題的不可解，反之亦然。

如果我們想象有N存在，我們就可以很容易地解決許多困難的或開放的數字理論問題。

例如，我們可以證明哥德巴赫猜想，即每個大於2的偶數都是兩個質數的和。

我們可以簡單地編寫一個程式來遍歷從4開始的所有偶數，並檢查每個偶數是否確實是兩個素數的和。然後，我們將把程式提供給N，並詢問它是否停止，從而證明猜想。事實上，這個問題還沒有解決。

不要為人類理性的力量設定任何界限，而要為數學中純粹形式主義的可能性設定界限。

換句話說，哥德爾和圖靈所展示的是沒有使用直覺的邏輯推理的侷限性。他們實際上證實了龐加萊的觀點，即邏輯雖然嚴謹和確定，但它只是一種演示工具，需要由直覺來輔助。

希爾伯特的形式理論是數學知識的近似值。正如宇宙的物理現實仍然是一個謎，需要物理學家去解決它，數學知識的前沿對數學家來說仍然是難以捉摸的。現在，數學家和他們的直覺又回到了遊戲中。

計算機的誕生和程式設計師的崛起

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在對停機問題的證明中，假設的機器M必須有一種方法能夠執行N來破壞它。為了實現這一點，圖靈創造了通用機器，它可以讀取任何圖靈機的編碼。從外部來看，你無法分辨是通用機器還是特定的機器在工作。現代計算機是以通用機為基礎的，通用機通常被描述為“強大”到可以做任何可以想象到的事情。但是，它的力量從何而來？它實際上是一個用來執行其他圖靈機的空殼，這些機器肯定是由某些人編寫的，不是透過邏輯推理，而是透過創造力、洞察力、判斷和我們心理的許多其他方面的努力，這些努力可以統稱為直覺。從這個角度來看，圖靈不僅發明了計算機，而且創造了程式設計師的角色，他們負責利用通用機器的“表達能力”來程式設計。我們擁有的是幾乎觸及我們日常生活方方面面的萬能電腦，而不是把自己鎖在象牙塔裡的全能邏輯機器！