尺度理論——過去50年物理學中最重要的數學成就, 解釋一切

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1982年，肯尼斯-威爾遜因一項不尋常的成就而獲得諾貝爾物理學獎。他提出了一個關於尺度的理論。特別是，威爾遜證明了在不同尺度之間似乎存在的剛性壁壘是如何在接近所謂的臨界點時被打破的。例如，當冰塊越來越接近融化時，分子水平上發生的事情突然影響到宏觀水平上發生的事情，反之亦然。尺度之間的隔離被打破了，所有的尺度都對冰過渡到水有貢獻。

威爾遜的研究具有深遠的影響。對於量子理論標準模型，威爾遜展示了尺度如何影響你將測量的自然界的基本常數，更重要的是，為什麼會影響。在威爾遜的研究之前，物理學家們一直認為他們是在用方程式玩某種數學遊戲，以得到合理的結果。威爾遜證明了事實並非如此。相反，這一切都是按比例來的。像萬有引力常數和精細結構常數這樣的常數根本不是常數，而是在很大程度上取決於測量它們的尺度。

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他特別表明，他們的方程在一個特定的尺度上失效，但在某些情況下，你可以忽略在更小的尺度上發生的事情，因為你不明白也不知道發生了什麼。相反，你可以把一個尺度和一個稍微小一點的相鄰尺度聯絡起來，然後得出公式，說明隨著你的實驗儀器探測到越來越小的長度，自然常數是如何從一個尺度到另一個尺度變化的。由於歷史原因，這種數學技術被無厘頭地稱為 “

重正化群理論

”，

它永遠地改變了量子物理學，是過去50年中物理學中最重要的數學成就之一。

這並不是唯一發生在微觀層面的奇怪事情。

科學家

們已經證明，如果你到了足夠小的尺度，時間實際上可以在短時間內倒退。僅由少數分子組成的機器可能會受益於這種奇怪的時間扭曲。

原因是熱力學第二定律，它支配著我們認為的時間流動方向，是一個統計定律，像所有的統計定律一樣，當樣本量變小時，它就被違反了。

在小規模的情況下，違反的可能性越來越大，而時間確實可以被觀察到向後執行。

在技術的世界裡，雖然飛機使用類似於鳥的固定翼，但在小尺度上，那是不行的。更小的尺度意味著更多的湍流，需要更多像昆蟲一樣的翅膀運動。在更小的尺寸下，鞭狀鞭毛以一種奇怪的螺旋狀模式移動，推動單細胞生物前進，包括使人類生殖的精子細胞。

同時，在最大的尺度上，宇宙變得像一個平滑的流體。每個星系和超級星系團就像數十億人中的一個分子。雖然宇宙，即使在最大的尺度上，也有一些網狀的結構，但它在很大程度上是平穩地移動和擴張。然而，在數十億年前的某個時刻，我們所知道的最大結構，即460億光年的可觀測宇宙，比原子核還要小。在這個尺度上，宇宙與最微小的尺度相撞，我們不知道在這一點上會發生什麼。我們只知道當宇宙再大一點，我們知道的普通物理學出現時，會發生什麼。

關於尺度的有趣之處在於，在望遠鏡和顯微鏡被髮明並變成科學儀器之前，這些東西甚至都不可見。伽利略圍繞這些儀器建立了企業，在一段時間內幾乎成為壟斷者。然而，他們也利用這些儀器大大擴充套件了我們對最大尺度和最小尺度所發生的事情的認識。從木星的衛星到一滴水，這時我們的世界開始向兩個方向擴充套件。

關鍵是，對於不同的尺度，我們通常使用不同的物理學。在星系和宇宙的尺度上，我們使用

愛因斯坦

的長方程。裡面沒有關於地球上所有生命多樣性的內容，也沒有原子，因為那些都不重要。

同樣地，在最小的尺度上，我們有量子物理學。有人說，所有的物理學都是量子的，但我們不用量子物理學來討論海洋的洋流。

而且，雖然有很多嘗試，但在將量子物理學應用於恆星或宇宙的尺度上，取得的成果非常少。唯一真正的例外可能是史蒂芬-霍金在黑洞熱力學、熵和霍金輻射方面的一些研究，它將這兩者結合起來。

不過，這其中大部分都是未經證實的。對於大型恆星黑洞來說，量子效應基本上是不可見的。我們沒有創造微小黑洞的儀器，我們可以透過研究來證實這些預測的大部分。而且我們還沒有發現任何自然發生的原始黑洞（這些黑洞可能小到可以觀察到它們）。

事實上，每個尺度都有自己的物理學，跨尺度的物理學是相當罕見的。

唯一的例外可能是電磁學，但即使是電磁學也會在最小的尺度上分解，因為它與其他力相結合。

這就是威爾遜的研究既吸引人又令人擔憂的地方，因為他表明在這些臨界點上，所有尺度都很重要。這意味著，如果宇宙中的大尺度結構現在或過去經歷了臨界點，我們可能無法理解它們，這取決於尺度有多大，除非我們有一個總的理論，將大尺度和小尺度結合起來。

黑洞和奇異結構可能是這些臨界點發揮作用的地方。在這些情況下，我們正在使用愛因斯坦的物理學，但愛因斯坦的物理學忽視了微小的量子尺度。我們必須有一個包括愛因斯坦和量子尺度物理學的物理學，以便理解這些關鍵現象。我們不能忽視任何一個。

直接的解決方案是將愛因斯坦的方程 “量化”，但事實證明這很難，沒有人能夠想出如何做到這一點，因為愛因斯坦的理論只是一個大尺度的 “有效 ”理論，不適用於任何其他尺度。我們需要找到在所有尺度上都有效地 “真正 ”的引力理論。

這個理論已經被一個叫波利亞科夫（Polyakov）的人發明了。波利亞科夫的方程確實在所有尺度上起作用。波利亞科夫方程中也有與愛因斯坦引力場非常相似的東西。最近，數學家們確實證明了它在二維空間中的作用。他們花了四十年的時間來證明它，而且只是針對二維。如果他們能在4維中做到這一點，他們可能會有一個可行的理論。無非是弦理論。

另一個建議是，引力有它自己最小的尺度，實際上沒有比這更小的東西。畢竟，愛因斯坦的方程確實告訴我們事物有多長。它是一個 “度量 ”場理論。引力改變了事物的長度。如果它能決定這些東西，那麼它為什麼不簡單地告訴我們事物能有多小呢？

在計算機中，我們在模擬任何事物時總是引入一個最小的尺寸，因為計算機是有限的機器。但是對於大多數事物來說，最小的尺寸是疊加在一些背景上的，而這些背景並沒有被假定為有一個最小的尺寸。對於引力，如果你確實假設了一個最小的尺寸，它並不疊加在任何東西上。空間和時間中的每一個點都沒有 “位置”，因為要有一個位置，你必須有一些背景現實來比較它。

這與這個想法類似。你必須透過它與其他每個點的關係來定義每個點。事實上，這是這個空間和時間理論中任何特定點的唯一定義特徵。它與具有某種最小距離的相鄰點相連。這就是環形量子引力。

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還有一些理論試圖以這樣或那樣的方式來消除尺度問題。比如透過將引力量化到第五維。這種量化並沒有告訴你在最小的尺度上發生了什麼，它只是告訴你這些尺度應該是可控的，因為引力在最小的尺度上是確定性地演變的，儘管是混亂的。它還從根本上挑戰了量子物理學，將其納入愛因斯坦的廣義相對論。

無論答案是什麼，它都必須解決這一個問題：

當把引力帶到最小的尺度時會發生什麼？引力會改變嗎？量子物理學會改變嗎？現實是否就這樣停止了？

如果我們真的碰巧找到了正確的理論，我們仍有很多工作要做，以證明它與我們在最大尺度上看到的情況相匹配。

最近，有人問，如果我們只能用有理數作為位置和時間的衡量標準會怎樣？這對這個問題有幫助嗎？有理數是整數的比率，並非所有的數字都是有理數。事實上，無理數比有理數的數字多得多。然而，你在生活中遇到的每個數字都是有理數。原因是我們根本無法處理那些有無限個不重複數字的數字。問題是：這能解決尺度問題嗎？

它不會解決這個問題。有理數可以代表你選擇的任何比例。人們對連續數感到困惑，但它們很少是物理學中的真正問題。透過使用極限和比例來控制連續數帶來的任何問題是很容易的。我認為非數學家只是害怕它們，因為當你處理連續數時，你會失去離散數的直觀性。你必須考慮到函式空間和無限維度的運算子。這讓人眼花繚亂。但真正的問題不是連續性，而是尺度。那是一個關於數字的無限性的問題，而不是數字的連續性。引入一個有限的宇宙，你可能會解決這個問題，但你必須回答這個問題：

宇宙有多大或多小？

由於還不能測量黑洞奇點的情況，所以不可能知道真正的答案是什麼。也許有一天引力波探測器會告訴我們。另一種可能性是，一種新的理論將被引入，解釋其他一些現象，如暗物質和暗能量，並且不存在與愛因斯坦相同的尺度問題。無論解決方案是什麼，都需要在巨大和微小的尺度上發揮作用。