埃舍爾藝術中的變形創作方法詳解

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1。 介紹

埃舍爾的許多版畫都以某種方式改變平面劃分為特徵［11，254頁］。最有名的可能是《變形2》，這是一幅狹長的版畫，在圖案、拼塊和現實風景之間有各種巧妙的過渡。埃舍爾非常明確地指出了這些長版畫的時間性。他不會簡單地描述《變形2》的結構——他會像故事一樣敘述它［5，48頁］。

變形2

變形3

我對以埃舍爾的變形風格創造新設計的問題感興趣。更確切地說，我想開發一些演算法，使創造過程的某些方面自動化。為此，我研究了埃舍爾用來進行轉換的裝置，其最終目的是將這些裝置數學化。在本文中，我提出了我對轉換裝置的分類（第2節），並提供了它們出現在埃舍爾作品中的交叉參考。然後，我討論了關於過渡型別的已知情況（第3節），並特別關注一種型別——插值——它顯示了數學處理的最大前景。

2。 埃舍爾的過渡

對埃舍爾作品的調查（由Bool等人［1］收集）發現，有18件作品採用了某種過渡裝置。透過研究這些作品，我確定了6種過渡的類別。《變形II》可以作為一種圖集，因為它包含了所有6種類型。它們如下。

T1

實現：

將幾何圖案精心設計成景觀或其他具體場景。在《變形2》中，菱形的立方體排列演變成對義大利小鎮阿特拉尼的描繪。

T2

交叉漸變

：兩種對稱的設計疊加在一起，其中一種漸變到另一種。埃舍爾很少使用這種方法，在《變形2》和《變形3》中，他將“變形”一詞的直線排列轉化為棋盤（後來又進行了反向轉換）。

T3

鄰接：

兩個不同的拼塊沿著共同的曲線突然拼接在一起。過渡生效時，兩個拼塊有模糊的相似的幾何形狀，可以做鄰接，沒有太多的扭曲。在《變形2》中，埃舍爾只使用過一次這個裝置，從六邊形的蜥蜴轉變為方形的蜥蜴。（後來，他在更大的《變形3》中嵌入了同樣的序列。）

T4

成長：

圖案逐漸成長，以填補預先存在的圖案領域中的負空間，從而形成多面體的拼塊。新的圖案不需要佔據所有的空隙；在《變形II》中，紅鳥成長到佔據了黑鳥之間的一半空間。當這兩組圖案最終融合在一起時，它們以第三隻鳥圖案的形式留下了一個白色區域。

T5

天與水：

這種過渡以一些現實的形狀A的副本開始，以另一個現實的形狀B的副本結束，並透過兩個類似於A和B的形狀的平鋪在它們之間，在埃舍爾的《天與水》中，上面的鳥遇到下面的魚。

T6

插值：

透過平滑地變換拼塊的形狀，一個拼塊演變成另一個拼塊。埃舍爾用這個裝置把簡單的拼塊變成他熟悉的相互連鎖的動物形式（例如，在《變形2》中把方塊變成爬行動物，在《舉一反三

Verbum

》中把三角形變成各種形式）。在某些情況下（如《解放》），動物形式然後被允許從拼塊逃脫。

《舉一反三》（Verbum）

由此，《變形II》中的轉場順序可以從左到右解讀為：

- T2（“變形 ”的副本變成一個棋盤）。

- T6（棋盤變成爬行動物的方形排列）。

- T3（方形爬行動物變成六邊形爬行動物）。

- T6（六邊形爬行動物變成六邊形）。

- T1（六邊形變成有蜜蜂的蜂巢）。

- T5（蜜蜂變成魚）。

- T5 （魚變成黑鳥） 。

- T4 （黑鳥變成三種不同顏色的鳥）。

- T6 （鳥變成一個長方體排列的菱形） 。

- T1（菱形變成阿特拉尼鎮，然後變成一個棋盤）。

- T1（棋盤變成一個正字形棋盤——反向實現 ）。

- T2 （棋盤變成 “變形 ”的副本）。

同樣，根據這裡給出的分類，《變形3》包含了20多個轉變。

受Schattschneider為埃舍爾的週期性繪畫［11］提供的交叉參考的啟發，表1列出了六種過渡裝置和它們出現的作品之間的一致性。

表1：埃舍爾的過渡裝置與它們出現的作品之間的對應關係。括號中的目錄號指的是Bool等人對埃舍爾作品的彙編［1］。

該表沒有記錄執行轉換的特定方式。鑑於埃舍爾傾向於將這些設計解釋為故事，大多數過渡都是以水平或垂直的線性順序安排的，儘管偶爾它們是徑向操作的。例如，

Verbum

是由等邊三角形構建在單個密鋪上的。插值從中心向外進行，在六邊形的邊緣上有6個逼真的動物形狀；6個天與水的例項出現在六邊形的六條邊上。

此外，表格中的一些選擇還有待商榷。《迴圈》上半部分的建築是否應被視為下面拼塊的實現，還是兩者只是相鄰？當然，並不是每一個拼塊與現實影象的並置都應該被視為實現；儘管在《美洲鱷》（cat。327）中，三維形式從印刷的頁面中出現，但拼塊本身並沒有經歷任何形式的轉變。作為另一個例子，請注意“插值”和“天與水”之間有一些重合。拼塊演化成現實形態並逃離瓷磚的特殊情況與一半的“天與水”轉換非常相似。這種情況可能確實最好分離出來成為第七種過渡型別（我建議將其命名為“解放”，以同名的作品為例）。

迴圈

解放

3。 變形的數學原理

許多學術工作都試圖分析埃舍爾作品的數學結構［2， 4， 11］，或者合成受其啟發的新設計［3， 13］。於是我們可能會想，上一節的過渡型別在多大程度上可以作為創造新的幾何變形的基礎。作為一個計算機圖形學的研究者，我設想了一個“變形工具箱”，一套將這些轉換置於設計師控制之下的演算法。

顯然，在正式確定這六種過渡型別的每一種時都有許多挑戰需要面對。“天與水”和“插值”的流行表明，這兩個問題應該首先解決。在早期的工作中，我展示瞭如何將自動發現類似埃舍爾鑲嵌的最佳化技術［8］擴充套件為生成天水設計［9］。在這一節中，我將轉向插值過渡，這是密鋪理論中的一個問題。

給定兩個拼塊T1和T2，插值要求在這兩個拼塊之間實現平滑的幾何過渡。據推測，T1和T2的拼塊之間建立了一對一的對應關係，當引數t從0移動到1時，每個單獨的拼塊逐漸從T1的形狀變形到T2的形狀。像埃舍爾一樣，我們試圖在平面的某個區域進行這種變形。我們還可以考慮一種時間上的變化，在這種變化中，我們構建一個從T1到T2的連續動畫。

除了埃舍爾的藝術，我們還可以把威廉·赫夫的拼花變形作為靈感來源。赫夫是一位建築設計教授，他發明了拼花變形，並把它們的繪製工作交給他的學生。後來，侯世達在《科學美國人》中對這些作品進行了推廣［7， 第10章］。赫夫的靈感直接來自埃舍爾的《變形》。他把這種風格提煉成一個抽象的核心，只考慮插值過渡，並傾向於用簡單的線條藝術來呈現抽象的幾何圖形，而不是埃舍爾的裝飾性動物形式。正如侯世達所寫道，赫夫進一步決定關注T1和T2是“直接單面體”的情況，也就是說，每個拼塊都只通過平移和旋轉與其他拼塊全等。我們也可以假設他心中只有週期性的拼塊。最後，他要求在變形的中間階段，建立的拼塊形狀可以是一個單面體拼塊的原型。侯世達修正了這最後一條規則，指出一些變形可能是必要的，以使中間的形狀成為拼塊；這一修正需要一個數學上的嚴格處理。

受埃舍爾變形和拼花地板變形的啟發，我根據等面體拼塊理論將插值問題形式化［6，第6章］。等面體拼塊很好地符合鑲嵌規則的直觀概念。它們的表現力足以表達廣泛的形狀，包括埃舍爾的週期性繪畫，並承認緊湊的符號描述，使它們成為軟體實現的理想選擇。因此，我們將插值問題表示為：給定等面體拼塊T1和T2，稱為“關鍵拼塊”，在它們之間構造平滑的空間或時間變形。

除了時間和空間轉換的相對困難之外，還有一系列日益複雜的情況需要考慮，這取決於T1和T2之間的關係：

例1。關鍵拼塊是相同的等面體型別，並有相等配置的密鋪頂點（3個或更多的瓷磚相交點）。

例2。關鍵拼塊是不同的等面體型別，並有相等配置的密鋪頂點。

例3。關鍵拼塊是相同的等面體型別。

例4。關鍵拼塊是相同的拓撲型別。

例5。關鍵拼塊是任意等面體拼塊。

第一種情況很容易在時間或空間上解決。當密鋪頂點全等時，有一個剛性運動將T2的密鋪頂點對映到T1的平鋪頂點上。這種剛性運動提供的配准將拼接的一般插值簡化為連線拼接頂點的曲線的插值。任何在兩條路徑之間連續插值的演算法都可以用來實現平滑過渡。圖1顯示了兩個基於線性插值的簡單示例。更復雜的曲線變形技術，如Sederberg等人的作品［12］可能會產生更有吸引力的結果。請注意，埃舍爾的插值完全依賴於這種簡單的情況，或者依賴於形狀變得更加真實時從平鋪中解放出來的變化。然而，我們希望審查其餘的案件。

圖1：案例1中拼花變形的例子，其中關鍵拼塊具有相同的等面體型別和全等密鋪頂點。左右設計分別基於IH18和IH88等面體型別。

當兩個鑲嵌屬於不同的等面體型別，但具有全等的鑲嵌頂點時，上述方法仍然有效。然而，插值可能會產生幾個不協調的中間形狀，違反了拼花變形的設計原則之一。當拼塊型別具有不相容的方向集，導致具有不同相對方向的拼塊被識別時，就會出現這種情況。如圖2所示，我們可以透過使用直邊的中間拼塊（關鍵拼塊的等面體型別的所謂

Laves 拼塊

［6，第4章］）進行插值來恢復近似單曲面。這一變化將案例2簡化為案例1的兩個例項，儘管中間鑲嵌的簡單性在美學上可能存在問題。

圖2：案例2中拼花變形的例子，其中等面體型別不同，但拼塊頂點一致。左側為IH50型，右側為IH61型。頂行直接混合相應的邊，導致兩個不協調的中間形狀族。最下面一行透過底層的Laves拼塊避免了這個問題。

案例3很容易臨時實施。在我之前關於“埃舍爾化”的工作中，我展示了每種等面體密鋪型別如何具有一個簡單的引數化來控制密鋪頂點的位置［8］。給定兩個相同型別的密鋪，我們可以從T1中控制頂點的引數平滑地插值到T2中的頂點。然後，我們可以像以前一樣對邊緣形狀進行插值。雖然是連續的，但此插值可能會導致平鋪經歷任意仿射變換（就像正方形變形為平行四邊形的情況一樣），這不一定會產生非常“穩定”的動畫。

情況3的空間變異比較困難。要繪製插值，我們必須首先設定密鋪頂點的排列，從T1到T2逐漸變化。但是，即使在單一的等面體型別中，密鋪頂點的配置也會發生巨大變化。插值是在繪製切片的同一空間中進行的，這一事實加劇了這個問題。在時間的情況下，沒有這樣的干擾。一種可能的解決方案是使用密鋪頂點之間的基本對應關係，在T1和T2中的平鋪頂點位置之間進行線性插值。在這種情況下，為了使連線任意兩個對應頂點的線段儘可能短，最小化兩組密鋪頂點之間的全域性仿射變換是有意義的。密鋪頂點佈局完畢後，可以像往常一樣對密鋪邊緣進行插值。這種方法可能會產生不令人滿意的結果，因為即使當全域性仿射變換最小化時，插值仍然會彎曲和凸起，破壞赫夫變形中發現的乾淨的線性級數（見圖3）。需要做更多的工作來確定如何對齊兩個鑲嵌，使得插值可以在一個條帶中乾淨利落地完成。

圖3：案例3中拼花變形的例子，其中兩個關鍵拼塊具有相同的等面體型別，但是密鋪頂點允許移動。左邊的例子（IH3）是穩定的，而右邊的例子（IH41）是彎曲的。在這兩個例子中，關鍵拼塊與連線拼塊頂點的粗輪廓一起顯示。

第四種情況和第三種很像。因為兩個密鋪具有相同的拓撲結構，所以具有該拓撲的Laves鑲嵌可以用兩個關鍵鑲嵌的等面體型別的引數化來表示。然後，可以使用這種共享拼塊來推導拼塊頂點之間的對應關係，根據這種對應關係，可以使用前面的插值方法。請注意，因為我們可能正在處理不相容的圖塊方向集，所以情況2的不協調問題再次出現在這裡。和以前一樣，透過共享Laves密鋪進行顯式轉換可以將問題減少到案例3的相鄰例項。

一般情況是最棘手的；除了到目前為止遇到的所有困難之外，我們還必須考慮瓷磚拓撲的變化。因此，密鋪頂點之間不再有明確的對應關係。另一方面，赫夫的許多例子實現拓撲轉換不需要太多的努力。如果我們可以在各種Laves鑲嵌之間手動生成合適的插值，我們可以使用這些過渡作為“門戶”來連線任何兩個等面體密鋪，而不管拓撲如何。因為只有11個Laves密鋪，所以需要少量的插值。

在圖4中，我提出了一組Laves密鋪之間的插值。請注意，這些過渡本身可能是串聯的，以便在未給出直接過渡的兩個Laves密鋪之間移動（儘管存在未示出的其他更直接的插值）。此方法統一了除（4。6。12）之外的所有Laves密鋪。我猜測，進入或退出這種拼塊是不可能平穩過渡的。幸運的是，忽略（4。6。12）會忽略81個等面體型別中的一個（IH77）。

圖4：Laves拼塊之間的拼花地板變形集合。每個變形都以Laves密鋪開始和結束，如圖下所示。每一個都在其長度的某處有一個拓撲不連續。這些示例在用星號標記的一個端點處都有間斷。透過連線或合成這些變形，我們應該能夠在右下角顯示的（4。6。12）以外的任何兩個Laves密鋪之間過渡。

到目前為止，我們假設當多個轉換連結在一起時，連結是透過簡單的連線完成的。這種方法限制了插值的審美範圍。在時間的情況下，透過中間拼塊的通道可以是連續的，但是表現出不和諧的不連續性。在空間方面，我們希望透過平滑中間過渡的方式從密鋪T1過渡到密鋪T2。我假設，除了連線插值，我們應該能夠組合它們，並讓兩個插值同時發生。然後，任何插值序列都可以組合在一起，直接從一個拼塊到另一個拼塊產生平滑的變形。

舉個例子，考慮一個點沿著線段的運動。如果我們希望從位置p1移動到p2，然後從p2移動到p3，我們可以簡單地連線兩個軌跡；這條新路徑將呈現方向（和速度，如果線段長度不同）的不連續變化。然而，用控制點p1、p2和p3繪製二次貝塞爾曲線的de Casteljau演算法會短路線性軌跡，並建立由兩個原始線段組成的平滑路徑。研究是否有一種類似於de Casteljau演算法的演算法來解決拼接插值的問題是很有意思的。

4。結論

本文的主要目的是提供一個由埃舍爾使用的轉換型別的分類。這種分類法可以用來理解其他藝術家的類似作品，或者研究我們如何透過新的幾何過渡超越這六種型別。

在介紹了我對埃舍爾工作的分析後，我忍不住對可以應用於自動插值的技術進行了推測。埃舍爾對插值的使用導致了等面體密鋪領域一個深刻而迷人的問題。我希望本文中的建議將激發數學變形構造的新研究。

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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