貝爾定理——量子革命的根源, 證明超距作用的真實性

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1964年，物理學家約翰-斯圖爾特-貝爾發表了一篇題為 “論愛因斯坦-波多爾斯基-羅森實驗（On the Einstein-Podolsky-Rosen Experiment）”的文章，引用了普林斯頓高等研究所的三位偉人，即阿爾伯特-愛因斯坦、內森-羅森和鮑里斯-波多爾斯基發現的一個明顯悖論。

這個悖論被稱為 “愛因斯坦-波多爾斯基-羅森佯謬（EPR Paradox）”，否定了

量子力學

的不確定性。那麼，這個悖論的具體內容是什麼？貝爾定理是如何解決這個問題的？

愛因斯坦-波多爾斯基-羅森佯謬

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1935年，《物理評論》雜誌上發表了一篇論文，題目是 “量子力學對物理現實的描述可以被認為是完整的嗎？這篇由阿爾伯特-愛因斯坦、鮑里斯-波多爾斯基和內森-羅森共同撰寫的論文，提出了一個著名的悖論，現在被稱為愛因斯坦-波多爾斯基-羅森佯謬（EPR悖論）。

該論文認為，

當時現有的量子力學理論和數學框架是不完整的，因為它與現實相矛盾。

用該論文中的話來說：

要麼（1）量子力學中的波函式對現實的描述是不完整的，要麼（2）兩個量子運算元不可能同時存在。

EPR悖論透過一個糾纏的思想實驗來說明 ”量子理論的不完全性“（儘管原論文沒有明確談到這一點）。它的內容如下：

讓我們假設有一對量子粒子，例如電子。我們對這對電子進行一些相互作用，從而使它們成為糾纏對。在不測量這兩個狀態中的任何一個的情況下，我們把它們傳送到非常遠的距離上，比如說穿越

銀河

系。為了實驗的簡單性，我們假設這種傳送是完美的，並且沒有與我們最初擁有的任何一個量子態發生相互作用。因此，糾纏被保留了下來。量子力學說，當我們測量其中一個狀態時，我們會瞬間知道另一個物體的狀態。這篇文章的作者用這個事實來強調 ”不完整的量子圖景“。他們認為，這種資訊一定是不正確的，因為它違反了自然界的一個基本定律：光速！

狹義相對論證明，光速是宇宙的終極速度。宇宙中任何物體/資訊的速度都不能超過299，792，458米/秒。因此，如果兩個物體在時空中交換資訊，它們一定不會突破這個速度障礙。但是，如果兩個相隔銀河寬度的物體在瞬間相互作用，”他們違反了自然界的基本規律“，正如這篇著名論文的作者所認為的那樣。

順便提一下，原始論文透過考慮兩個相互非交換的量子運算元，在數學上建立了對現實的不完全描述，例如A和B（非交換的的意思是AB≠BA）進行了說明，表明它們在機率上互不相容，並由此得出了對現實的不完整描述的結論。

另一種思考方式是，如果你有兩個各方面都相同的陀螺，在沒有看到任何一個的情況下，把其中一個拿走，開啟盒子，看到陀螺的顏色，比如說紅色，馬上就知道另一個陀螺的顏色是紅色。

這正是所謂的隱變數方法，即量子狀態已經事先確定，剩下的就是測量量子狀態。

但是，我們很快就會看到，這不是自然界的運作方式！

實際上，一個更好的比喻是：想象兩個陀螺（類似於量子態）並排旋轉；讓它們突然以彈性方式相互碰撞（類似於量子相互作用，這樣，現在兩個陀螺的動量是相互糾纏的）。一旦它們相撞，我們立即將其中一個傳送到銀河系的之外。糾纏的意思是，如果我們看到其中一個陀螺沿著比如說北南軸線靜止，（頭部指向北方，尾部指向南方），那麼這將證明另一個陀螺將指向南北軸線，即頭部指向南方，尾部指向北方的事實。

前面討論的那篇論文的作者主張採用隱變數法。他們反對量子力學的機率效應以及糾纏，特別是在非常遠的距離上。這種方法被大衛玻姆正式化為一個完整的理論，因此也被稱為

玻姆理論。

約翰-斯圖爾特-貝爾（John Stewart Bell）在1964年為隱藏變數理論的討論提供了一個可能的解，被稱為

貝爾不等式

。

貝爾不等式

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貝爾不等式主要透過兩個例子進行說明：

光的偏振和電子的自旋。

我們在這裡將主要關注電子自旋的問題。

因此，讓我們想象一下，100個單線態電子對，以某種方式在兩個相反的方向旅行，沒有任何相互作用。透過它們的單線態配對，它們的自旋已經反糾纏在一起，如果一對電子中的一個電子的自旋是順時針的，那麼另一個的自旋就會變成逆時針的，反之亦然。

現在，讓這100個自旋 ”向上“/順時針的電子與另外100個電子（自旋 ”向下“/逆時針）相距甚遠，這樣，兩個相互糾纏的電子就不能在合理的時間內交換資訊，儘管它們是量子糾纏的。讓我們試著給電子分配一個真實的隱藏變數λ，它定義了沿水平軸或垂直軸測量電子的偏置。讓自旋向上的電子屬於愛麗絲，自旋向下的電子屬於鮑勃（一種命名慣例）。

愛麗絲和鮑勃，現在用S-G磁鐵對電子的兩種自旋狀態進行合理的測量，並使其相互間的傾斜度成反比。現在，我們遵循三種不同的情況。

S-G磁鐵是完全反向傾斜的；這意味著兩個糾纏的電子會得到相同的結果（因為它們的自旋是反向排列的）。因此，100%的電子將給出相同的結果。因此，所有200個（或100對）電子的結果都是一樣的。

現在，讓我們把一個SG磁鐵的方向稍微偏離另一個（比如說δ=θ°）；因此，對水平方向有強烈偏向的電子將顯示出不同的結果。在這種情況下，假設不同結果的電子數量為N_1。（即使我們將另一塊SG磁鐵的方向定為δ=θ°，保持這塊SG磁鐵的δ=0，顯示出不同結果的電子數N_2也是一樣的，因為SG磁鐵之間的相對角度很重要，而不是絕對角度，因此N_1=N_2）。）

現在，讓我們把兩個SG磁鐵的方向定為δ_1=θ°，但是方向相反；這意味著，按照慣例，磁鐵-1的δ_1=θ°，而磁鐵-2的δ_2=-θ°。因此，兩個SG磁鐵之間的相對角度將是δ=δ_1-δ_2=2θ°。因此，與我們的隱藏變數λ相對應，產生不同結果的電子數量N不應該大於（N_1+N_2=）2N_1。

但是，這個數字並不符合量子力學的預測。根據量子力學的計算，經過適當的近似，N_1（=N_2）這個數字應該等於θ^2/4。而N=（2θ）^2/4=4θ^2/4=4N_1。但這與我們之前的結果相矛盾。這一矛盾使得量子力學中不存在實的區域性隱變數。

簡而言之，這就是貝爾定理。

在數學上，這以不等式的形式表現出來，在原論文中為：

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現實主義：

認為自然界的存在獨立於是否有人在見證它。

區域性性：

一個影象只受其周圍環境的直接影響的原則，換句話說，沒有任何資訊或原因可以比光速更快傳輸。

儘管我們已經否定了量子力學中真實的、區域性的性變數的存在，但現在許多物理學家準備犧牲區域性性的條件來支援隱變數理論，包括約翰-斯圖爾特-貝爾等人。儘管許多實驗證實了真實的、區域性的變數並不存在，但這些實驗中存在許多漏洞，其結果是任何隱變數的不存在還有待證明或檢驗。玻姆力學提供了一個完整的解釋，基於非區域性隱變數的假定存在。

貝爾的不等式導致了另一個強大的假說，即貝爾自己提出的

超決定論

，根據這個假說，所有的東西，實際上所有的東西都是預先決定的。