考拉茲猜想：一個簡單而深邃的數學問題，當前的研究狀態如何？

考拉茲猜想，又稱為：冰雹猜想、奇偶歸一猜想，是最著名的尚未解決的數學問題之一。

一個簡單而美妙的數學問題

它是如此簡單以至於可以向一個小學生簡單說明：選擇一個數字，任何正整數。如果是偶數，則將其除以2。如果是奇數，則將其乘以3再加上1。所得數字再次重複如此步驟。最終，所得結果都是為1。

一個深邃而奧秘的數學問題

它看起來相當簡單，但實際上又很奧妙，自從提出80多年來，引無數英雄競折腰，眾多的數學家從許多方面來研究，卻始終未能解決它。

著名數學家保羅·埃爾德斯（Paul Erds）關於這個猜想如是說：

“數學可能還沒有為解決此類問題做好準備。”

他還為解決方案提供了獎金。傑弗裡·拉加里亞斯（Jeffrey Lagarias）在2010年表示，這個猜想

“是一個非常困難的問題，完全超出了當今數學

的

範圍”

。

打個比方，這就有點像物理學中的“雙縫實驗”看起來極為簡單、實質卻代表了量子力學的奧妙本質，這個猜想看起來也極為簡單，它體現了數學中的某種奧妙。

對這個猜想的探索

簡單來說，至今為止，對這個猜想的探索研究狀況主要體現在下面幾個方面：

經驗資料

例如，從n = 12開始，一個序列為12、6、3、10、5、16、8、4、2、1。

數n = 19需要更長的時間達到1：19，58，29，88，44，22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2- ，1。

對於n = 27的序列（如下列表及其圖形），經過了111步（

41步經過奇數，以粗體顯示

），在下降到1之前攀升至

9232

。

計算時間最長的起始值^

數目少於1萬的，步驟中最高的數是6171，共有261個步驟； 數目少於10萬的，步驟中最高的數是77031，共有350個步驟； 數目少於100萬的，步驟中最高的數是837799，共有524個步驟； 數目少於1億的，步驟中最高的數是63728127，共有949個步驟； 數目少於10億的，步驟中最高的數是670617279，共有986個步驟。

猜想的視覺化

圖表甚於言語，下面給出一些關於對於這個猜想的探索的視覺化圖形。

支援論點

儘管該猜想尚未得到證明，但大多數研究過該問題的數學家都認為該猜想是正確的，因為實驗證據和啟發式的論證支援了這一猜想。

實驗證據

截止2020年，猜想已透過分散式計算在進行驗證。到2009年1月18日，已驗證正整數到 5 × 2^60= 5，764，607，523，034，234，880，也仍未有找到例外的情況。但是這並不能夠證明對於任何大小的數，這猜想都能成立。

計算機對高達2^68 ≈2。95×10^20個所有的起始值進行了查驗。到目前為止，所有測試的初始值最終都在週期3的重複週期（4；2；1）中結束。

該計算機實驗證據並不足以證明該猜想對於所有初始值都正確。與某些不正確的猜想一樣，例如Pólya猜想，當考慮非常大的數時，可能會找到反例。

但是，這樣的驗證可能還具有其它含義。例如，可以得出對非平凡週期的週期和結構形式的其它約束。

機率啟發式

如果僅考慮這個考拉茲過程生成的序列中的奇數，則每個奇數平均為前一奇數的3/4。這產生了一個啟發式的論點，即從長遠來看，每個考拉茲序列都應減少，儘管這並不是針對其它週期的證據，而只是針對差異的證據。該論點不是一個證明，因為它假定考拉茲序列是由不相關的機率事件組合而成的。

停止時間

已證明，幾乎每個正整數n都有一個有限的停止時間。換句話說，幾乎每個序列都達到一個嚴格低於其初始值的點。該證明基於奇偶向量的分佈，並使用中心極限定理。

在2019年，陶哲軒透過使用對數密度顯示了幾乎所有的序列軌跡都下降到任何給定起點函式以下的情況，從而大大改善了結果，但前提是該函式發散到無窮大（無論多麼緩慢）。陶證明對於一個趨於正無窮的實數列f（n），幾乎對所有在對數密度意義下的正整數n，有S（n） < f（n）。針對這項工作，《量子雜誌》評價道，

陶“獲得了幾十年來關於考拉茲猜想的最重要結果之一”

。

有數學家認為，該猜想任何程度的在往前進路上的“解決”，都是對於現代數學的一大進步，將可能開闢全新的數學領域。目前也有部分數學家和數學愛好者，在進行關於“負數的3x＋1”、“5x＋1”、“7x＋1”等種種考拉茲猜想的變型命題的研究。