物理學中是否有“無窮”的概念? 物理學家是如何處理“無窮”的?

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為了瞭解我在說什麼，讓我先引用幾本量子場論的教科書和一些評論文章。

長期以來，人們認為以這樣一種方式計算就足夠了，即在可以直接與實驗進行比較的數量中不出現無限性。[......]幸運的是，這些積分的無限部分總是會在可觀測量的表達中抵消掉。——M. Peskin and D. Schroeder

然而，只要我們避免紅外發散，我們就沒有問題。——H. Georgi - 《核與粒子科學年度評論》1993, 43, 209-252

無窮大是數學概念。在歷史上，物理理論中的發散和奇點最終成為了相應模型瀕臨崩潰的線索。重新審視為什麼舊的理論會被打破，並修改“規則”以避免發散，這就是物理學的一些基本分支誕生的方式。

量子力學是在經典物理學的 "紫外線災難 "上構思出來的。

根據經典物理學，黑體與其周圍的熱平衡狀態下的光譜功率與波長的四次方λ^4成反比。這意味著，在所有波長上進行積分時得到的總功率將是無限的。這種在經典物理學內無法解決的悖論被稱為 “紫外線災難”。為了解決當時眾所周知的悖論，馬克斯-普朗克假設能量只能以離散的數量（量子）出現。這導致了光譜功率和波長之間的不同關係，在大波長上與舊的關係一致，但在小波長上卻非常不同。它解決了 “紫外線災難 ”的問題。能量只能以量子形式出現的假設是新理論——量子力學的基礎之一。

黑體是一個吸收所有入射光的物體。黑體的近似值是一個有小孔的絕緣箱，一旦吸收了入射光線，就很難再透過同一個小孔射出。另外，恆星的外層，即光球層，可以被認為是一個與周圍環境處於熱平衡的黑體，因為發射的光子很快就被來自恆星內層的新光子所取代，而且該層的溫度在一段時間內是相當穩定的。

什麼是量子場理論，我們真的需要它嗎？

宏觀的慢速運動物體（速度遠慢於光速）可以用經典力學來描述。一旦物體的速度變得與光速相當，就應該用

相對論

力學來描述其動態。

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另一方面，在非常小的範圍內，物理學並不遵循經典力學的規律。緩慢移動的微觀粒子（如在原子物理學中）可以用量子力學來描述。當用快速移動的粒子操作時，其速度與光速相當，就會出現新的現象。粒子可以誕生，也可以湮滅

。20世紀20年代末，物理學的新學科形成，被命名為量子場論（QFT），將量子力學的規律與相對論運動的規律相結合。

人們需要一個量子場理論來解釋以相對論速度運動的小物體的物理學。在這些條件下，會出現新的現象，如粒子的誕生和死亡。

量子力學只是部分地是一種量子理論，因為它只把粒子當作量子，而場仍然被認為是經典的。

物理學的第二次量子化 "革命 "發生在場也被視為量子的時候。根據量子場論，空間充滿了各種場（電磁場、電子場等），而粒子可以被看作是相應場的激化。

量子場論中的無處不在的無限性

在20世紀20年代末，

物理學家

試圖瞭解原子如何吸收和發射光子。更廣泛地說，他們試圖找到電子和光子相互作用所依據的基本量子力學規律。用電磁場的量化來解釋計算出來的自發發射是量子場論的第一個成功。保羅-狄拉克在微擾理論中把原子的自發發射係數計算到一階。人們認為，原則上，任何涉及光子和帶電粒子的過程都可以在量子場論中計算出來。然而，在20世紀30年代末，人們意識到微擾理論中涉及與 “虛擬 ”粒子相互作用的高階項經常變得發散。這些計算產生了毫無意義的結果，並且在一段時間內沒有得到解決，因此對整個概念產生了懷疑。此外，新進行的實驗似乎指出了自然界和量子場理論之間的其他差異。

20世紀40年代，量子場論在概念上是站不住腳的。似乎在計算的每一步都出現了發散。

20世紀40年代末，有一個技巧拯救了它，即在某個大尺度的L處引入一個截止點，並將其吸收到模型中的常數中。如果計算出來的可測量量與截止點無關，那麼理論將是可重正化的，最終只是與初始值相比，常數被重新標定。儘管這聽起來有點粗略，但這一招還是奏效了。以這種方式計算出來的物理量與實驗有很好的一致性。

在20世紀40年代末，有人認為系統地修改模型中的起始引數將普遍解決量子場理論中無處不在的無限性問題。

這個過程被命名為重正化。重正化量子場理論的第一個有直接實驗證實的例子是電動力學量子理論（QED），帶電粒子的量子力學相對論，特別是電子。QED是我們迄今為止擁有的最精確的物理理論之一，與實驗結果的吻合度在十億分之一之內。它起源於狄拉克、海森堡和泡利在20世紀20年代末的最初工作，隨著朝永振一郎施溫格和費曼的研究而完成，後來的三人因此分享了1965年的諾貝爾物理學獎。

因為他們在量子電動力學方面的基本工作，對基本粒子的物理學產生了深遠的影響。

儘管重正化在實踐中被證明效果很好，但費曼對其數學上的有效性從未完全放心。他甚至把重正化稱為 “空殼遊戲 ”。

量子場論的現代時代

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量子場理論的巨大進步是隨著認識到量子電動力學中所有的超暴力發散都與粒子的自身能量有關而取得的。雖然在量子電動力學理論中，無限性在重正化過程中得到了系統的調節，但基尼斯-威爾遜在20世紀70年代對重正化組理論所做的深刻研究使人們對重正化程式的物理意義有了更深刻的理解，並導致了進一步的進展。重正化組的思想是處理涉及許多長度尺度的物理學問題。根據目前的觀點，重正化被看作是調整低能物理學對高能物理學影響的敏感性。肯尼特-威爾遜因其在重正化方面的工作於1982年獲得諾貝爾物理學獎。

據瞭解，模型中最初設定的質量和電荷引數，即所謂的 “裸質量 ”和 “裸電荷”，是實際數量的數學抽象。它們並不直接對應於測量的實驗值，所以它們最終在計算中被無限放大，這並不是什麼問題。透過重正化 “裸 ”引數，可以得到物理值，也就是應該與實驗進行比較的值。

從重正化組的計算來看，所有的有效場理論都可以分為可重正化的、不可重正化的和超重正化的。大多數著名的理論都是可重正化的，如QED、量子色動力學、電弱相互作用理論、凝聚態物理學中的大多數理論，如超導、流體湍流等。非正則理論的一個例子是廣義相對論（引力理論）。

當構建一個模型時，將其約束為可重正態化是合理和方便的，因為這將消除很多可能性。儘管自然界的行為沒有先驗的理由，但這種簡化被證明是合理的，因為現有的成功的可重正化理論已經顯示出與實驗驚人的一致。

無限性的型別（在物理學中）

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上文中的大部分討論都是針對高能紫外線發散的，從物理學的角度來看，這是災難性的，因為在自然界中沒有看到這種發散。透過重正化，紫外線發散被整理出來了，在可觀測量的表示式中沒有發散出現。然而，在QFT中也有零能量的紅外發散現象出現。

紅外線發散出現在有無質量粒子（如光子或膠子）的理論中。它們發生在輻射光子的能量歸零的極限中。可能有無限的零能量光子產生，所以紅外發散是指光子的不確定粒子數。從技術上講，不可能構建由有限數量的光子組成的初始基到由無限數量的光子組成的最終狀態之間的轉換矩陣。從物理學的角度來看，紅外發散並不像紫外發散那樣從根本上造成困擾。在物理學上，可測量的數量是輻射的能量，它是零，而不是發射的零能量光子的數量。此外，所有的探測器都受到一些解析度的限制，所以零能量的光子無論如何都不可能被探測到。

在QFT內部，紅外發散要麼用低能量截止來處理，要麼將光子的質量定義為非零，並在計算結束時將其限制為零。與零能量的光子有關的紅外發散可能出現在各種過程中。

在虛擬修正中——電磁修正中，光子在相互作用過程中被髮射和吸收，但在初始和最終的光子數量之間沒有任何區別。

在被稱為軔致輻射的過程中產生的光子中——當粒子相互作用時，它們只是被其他粒子的場偏轉。

測量的總輻射能量包括上述兩類過程的貢獻。這兩個過程的符號是相反的，因此，在總貢獻中，紅外發散得到了補償。

今天的量子場論

今天，量子場論是一個完善的、極其成功的理論。儘管物理量積分的計算導致了 “每隔一步 ”的無限性，但這些發散不僅可以被系統地整理出來，而且在重正化組內研究量子場論中的無限性時，可以預測系統的定性行為。利用重正化技術對發散的積分進行系統的重新計算，使得QFT被應用於許多物理學領域，粒子物理學、凝聚態物理學、引力和宇宙學。

極其精確的標準模型量子場理論與高精度實驗資料之間的差異可以提供基本粒子標準模型之外的物理學線索。在高階微擾理論中，需要計算的繁瑣積分數量呈指數級增長。