“虐你千百遍”的微積分，是誰創造出來的？

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公眾號

17世紀是天才的世紀，在科學史上，這一時期人的創造力達到登峰造極的程度。在這一時期豐富的科學成果中，最輝煌的莫過於微積分的建立。微積分的出現成為整個數學史，乃至科學史上一個具有劃時代意義的重大事件。

微積分像兩百年後的量子力學一樣，有相似的特徵：首先，從孕育到建立成，都經歷相當長的一段歷史時期；量子力學以不同形式出現，微積分也以純幾何推理，或以純代數的不同方式出現；由於出現的方式不同，兩個學科的伊始都是一對“孿生兄弟”，都形成彼此不斷爭吵的兩個學派，過後又都被證明，這兩個體系具有完全一樣的本質。

像量子力學一樣，微積分理論在建立過程中，也是明星璀璨，像牛頓、萊布尼茨、柯西、笛卡爾、巴羅、瓦里斯、維爾斯特拉斯、伯努利兄弟、尤拉、拉格朗日等，他們都在定義、計算微分和定積分方面做出了自己的貢獻。

量子力學的出現衝破了經典物理，開啟了微觀物理學，而微積分理論的建立，則衝破了佔統治地位的常量數學，開啟了變數數學，掀起了數學乃至科學史上的巨大變革，它們都成為了近現代科學發展的基石。

微積分分別出自兩位世紀大師，牛頓和萊布尼茨之手，他們各自獨立地建立起微積分體系的基礎。兩位大師殊途同歸，在理論體系的建立過程中都佔有開創性的地位。

1665年5月31日（按當時曆法是5月20日）是數學史上重要的一天。這一天，牛頓寫出一份微積分手稿，雖然這份手稿僅有一頁，但它是人類有史以來關於微積分的最早記載，由此開創了人類的微積分新時代。

牛頓

這一時期，牛頓在家鄉躲避瘟疫，在靜心研究笛卡爾的《幾何學》後，他對切線問題產生了濃厚的興趣。對比古希臘關於求解無限小問題的文獻，牛頓將切線問題總結為兩種運算，即微分術（當時稱為正流變數術）和積分術（當時稱為反流變數術）。在隨後的20年裡，他一連發表了幾篇論文，改善和補充他的微積分學說。

在1671年，牛頓又完成了他的第一部關於微積分的著作《流數法和無窮級數》。在這部書中，牛頓首先提出了“變數”的思想。他指出，由於點、線、面的連續運動而產生變數，這些變數是無限運動的結果，而不是無窮小的靜止點的集合。牛頓引入微積分的思想與運動掛鉤，他以連續運動的瞬時速度及運動的路程出發，對微分和積分展開了討論。由於與運動學掛鉤，使“變數”和“微積分”概念更加容易接受。可惜的是，這些超前思想最初並沒有引起重視，使牛頓的這部書直到1736年才得以出版。

從年代上看，牛頓建立微積分要比萊布尼茨早，但由於英國與歐洲大陸隔絕，所建立的符號體系與運算規則不方便使用，使牛頓的微積分理論在影響上遠不如萊布尼茨。

萊布尼茨

像牛頓一樣，萊布尼茨的一生在數學和物理上也有不少貢獻，在建立微積分上，他與牛頓享有同樣高的聲譽。萊布尼茨很早就認識到微分與積分為互逆運算，並給出了微積分的基本定理，也就是現在所說的“牛頓-萊布尼茨公式”，雖然這一公式在他提出的20年之後，才給出證明，但這絕不影響萊布尼茨對微積分的天才洞察力。

萊布尼茨的微積分發展較晚，他的最初的手稿完成於1675年10月25日，其中系統地建立了微積分的符號與運算規則，直到現在仍在沿用。

1684年，他又發表了一份著名的微積分文獻，題目出奇的長：“一個求極大和極小的切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及與這種新方法相關的奇妙型別的計算”。題目如此之長，內容卻較為簡短，這篇論文竟然對微積分的創立產生了劃時代的影響。

1686年，萊布尼茨又發表另一篇積分學的文獻，首先創造了積分符號。萊布尼茨清醒地認識到，一個好的符號和運算體系更能節省思維，運用符號和規則的技巧是數學成功的關鍵之一。正因為如此，萊布尼茨的微積分比牛頓的更具有啟示性，在推動數學發展方面，萊布尼茨功不可沒。

儘管牛頓與萊布尼茨二人的微積分形式不同，但所建立的微積分體系的本質是一致的。牛頓偏重從物理問題出發，應用了運動學的原理，如瞬時速度中的“微分”、運動變數的“積分”等概念，使微積分更容易理解和掌握；而萊布尼茨則多從幾何學問題出發，用分析法引進微積分，得出運演算法則，因而要比牛頓的更為規範和嚴密。兩人從貌似完全不同的兩個突破口出發，使微積分並駕齊驅地在兩條不同的路線上創立起來。

牛頓-萊布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函式的原函式或者不定積分之間的聯絡。因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式。

正當人們欣賞微積分建立宏業之際，因為微積分的兩種形式而掀起的軒然大波，造成了歐洲大陸數學家與英國數學家的長期對立。在一個相當長的時間內，由於閉關鎖國和民族偏見，英國數學過於拘泥於牛頓的“流數術”而裹足不前，失去了自身的發展優勢，使英國數學幾乎落後歐洲大陸一個世紀。

歷史上任何一項重大的理論，在其建立之初，往往不免帶有不足和缺陷。牛頓和萊布尼茨創立了微積分體系，卻沒能更深入地發展這一理論。例如，在無窮和無窮小量的說法上前後含糊，其說不一，牛頓的無窮小量有時候是零，有時候不是零；而萊布尼茨的無窮小量的說法也不能自圓其說。

由於早期微積分在嚴密性上的缺陷，導致數學上的第二次危機發生。直到19世紀初，經法國數學家柯西、德國數學家威爾斯特拉斯完善了極限理論，在康托爾、戴德金等人建立了實數理論之後，極限理論成為微積分的堅實基礎，微積分才以充分嚴密化的方式發展起來。就這樣，微積分的發展曲曲折折地經歷了整整150年。

今天，微積分已經成為天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、應用科學和社會科學各分支中不可缺少的工具。特別是計算機發明之後，微積分在廣泛應用之中愈發不斷完善而豐富。

作者：魏鳳文 武軼

編輯：張潤昕